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By Bartel L. van der Waerden

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Es kann r = n sein; dann ist Rn-r der Nullraum. Andernfalls wahlen wir in Rn-r belie big die Basisvektoren Vr+1, ... , Vn. Dann ist I(Vi,Vk)=O I(Vi, Vi) I(Vi, Vi) = Yt =0 *0 (i (i * k) , = 1, ... ,r), (i=r+ 1, ... ,n). • , Vn: Lineare Algebra 24 Die Form fist also, wie man sagt, auf eine Summe von Quadraten transformiert. Die Vektoren w von Rn-r haben die Eigenschaft f(w, u) = ° fur jedes u und sind dadurch gekennzeichnet. Der Raum Rn-r und dessen Di. mension n - r sind also invariant mit der Form f verbunden.

Beispiele von Algebren 41 Wir wollen nun eine Multiplikation der Vektoren so definieren, daB = uv + vu = (10) uu (ll) Q(u) , B(u, v) gilt. Dabei ist (11) eine Folge von (10): uv + vu = (u + v) (u + v) - uu - vv + v) - Q(u) - Q(v) = = Q(u B(u, v) . Insbesondere solI also gelten u,U, = qc , (12) (13) UjUj + UjUj = qCj (i < j). Wir bilden wieder einen 2n-dimensionalen Vektorraum, bestehend aus den Summen (14) ea + L UtCX, + L UCjCXCj + ... + U12 ... nCX12 ... n • i

Setzt man das in (11) und (12) ein, so findet man Ll (13)' = Q-l und (14) D= Q2. D ist eine Form vom Grade n = 2m, also ist Q eine Form vom Grade m in den atk. Fiihrt man fUr n = 2 und n = 4 die Rechnung ganz durch, so findet man n = 2: n = 4: Q = a12, Q = a12a34 - a13a24 + a14a23. Die allgemeine Formel fUr Q hat PFAFF gefunden. Einen Beweis findet man in einem sehr instruktiven Brief aus der Unterwelt von R. LIPSCHITZ, Ann. of Math. 69 (1959), p. 247. Die Gruppe der linearen Transformationen der Xt und Yk, die im Fall n = 2m die Normalform 1m in sich iiberfiihrt, heiBt Komplexgruppe oder symplektische Gruppe.

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