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By Herbert Amann, Joachim Escher

Der dritte und letzte Band dieser Reihe ist der Integrationstheorie und den Grundlagen der globalen research gewidmet. Es wird wiederum viel Wert auf einen modernen und klaren Aufbau gelegt, der nicht nur eine wohl strukturierte sch?ne Theorie liefert, sondern dem Leser auch schlagkr?ftige Werkzeuge f?r seine weitere Besch?ftigung mit der Mathematik in die Hand gibt. Aus diesem Grund wird beispielsweise konsequent das Bochner-Lebesguesche quintessential entwickelt, welches ein unverzichtbares Hilfsmittel f?r die moderne Theorie der partiellen Differentialgleichungen darstellt. Ebenso wird eine model des Stokesschen Satzes bewiesen, welche den praktischen Bed?rfnissen der Mathematik und theoretischen Physik weitgehend Rechnung tr?gt.

Wie bereits in den fr?heren B?nden, werden auch hier zahlreiche Ausblicke auf weiterf?hrende Theorien gegeben, die dem Leser einen Eindruck von der Bedeutung und der St?rke der entwickelten Theorien vermitteln sollen. Daneben dienen diese Abschnitte dazu, den bereitgestellten Stoff weiter einzu?ben und zu vertiefen. Zahlreiche Beispiele, konkrete Rechnungen, eine Vielzahl von ?bungsaufgaben und viele Abbildungen machen dieses Lehrbuch zu einem verl?sslichen Begleiter durch das gesamte Studium.

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Die Konstruktion ¨ außerer Maße Eine Abbildung μ∗ : P(X) → [0, ∞] mit μ∗ (∅) = 0 heißt ¨außeres Maß auf X, wenn ¨ sie wachsend und σ-subadditiv ist. Eine Teilmenge K von P(X) nennen wir Uberdeckungsklasse f¨ ur X, wenn sie die leere Menge und eine Folge (Kj ) enth¨alt mit X = j Kj . 1 Bemerkungen (a) Ein ¨ außeres Maß auf X ist stets auf ganz P(X) definiert. (b) Jedes Maß auf P(X) ist ein a ¨ußeres Maß. 3(vi). (c) F¨ ur A ⊂ X sei 0, A=∅, 1, A=∅. außeres Maß auf X, und μ∗ ist genau dann ein Maß, wenn X Dann ist μ∗ ein ¨ einpunktig ist.

Ii) Es seien a, b ∈ Rn . Offensichtlich ist durch I0 := (a, b) und Ij := ∅ f¨ ur j ∈ N× eine Folge von Intervallen in Rn gegeben mit (a, b) ⊂ j Ij . Also gilt λ∗n (a, b) ≤ j voln (Ij ) = voln (a, b) . 1) (iii) Es sei A0 die Menge aller Teilmengen A von Rn , so daß es a, b ∈ Rn gibt mit ak = bk f¨ ur ein k ∈ {1, . . , n} und1 (a, b) ⊂ A ⊂ [a, b]. Offensichtlich gibt es zu jedem A ∈ A0 und ε > 0 ein Iε ∈ J(n) mit A ⊂ Iε und voln (Iε ) < ε. Folglich gilt λ∗n (A) = 0 f¨ ur A ∈ A0 . Zu a, b ∈ Rn gibt es 2n Seiten“ Jj ∈ A0 mit ” 2n [a, b] = (a, b) ∪ Jj .

8 kennenlernen. Aufgaben 1 F¨ ur A ⊂ X seien A := Aσ {A} und μ(∅) := 0 sowie μ(B) := ∞ sonst. Man zeige, daß (X, A, μ) ein vollst¨ andiger Maßraum ist. 22 2 IX Elemente der Maßtheorie Es seien (X, A, μ) ein Maßraum und A1 , . . , An ∈ A f¨ ur n ∈ N× . Dann gilt n n μ Aj = j=1 k (−1)k+1 μ 1≤j1 <···

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