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By Hans Triebel

Von 1974 bis 1979 hatte ich an der Friedrich-Schiller-Universitat in Jena die sicherlich nicht alltagliche Gelegenheit, einen durchgehenden 10semestrigen Kurs flir Mathematikstudenten zu lesen. Entsprechend dem Studienplan hatten diese Vorlesungen verschiedene N amen (Differential- und Integralrechnung, gewohn liche Differentialgleichungen usw.), Inhalt und Zielstellung werden aber wohl am besten durch "Analysis und mathematische Physik" ausgedriickt. Das Buch ist das erweiterte Skelett dieses Kurses. Skelett insofern, als auf Beweise weitgehend verzichtet wurde (im Gegensatz zu groBen Teilen der Vorlesung). Andererseits wurden die Kapitel 27, 32 und 33 nachtraglich eingefligt. Das Ziel des Kurses ist klar, wenn guy einen Blick in das Inhaltsverzeichnis dieses Buches wirft: Einerseits hat die Mathematik groBartige, elegante, in sich geschlossene Theorien entwickelt, die keiner weiteren Rechtfertigung bediirfen. Andererseits sind es oft gerade die schonsten dieser Theorien, die zugleich das Fundament bilden, auf dem klassische und moderne theoretische Physik ruhen. Es battle das Ziel, nicht nur diese Fundamente zu beschreiben, sondern auch einen Eindruck von den Gebauden zu vermitteln, die iiber ihnen errichtet werden konnen. Getreu dem Hilbertschen perfect werden hierbei mathematische Theorien und ihre physikalischen Interpretationen und Anwendungen sauberlich getrennt.

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Bemerkung3. Es sei g(x) =X. Dann folgt aus (1), daB es ein xoE(a, b) mit j(b) -j(a) b -a f'(xo) gibt. Geometrisch bedeutet das, daB die Tangente durch Xo parallel zur Geraden ist, die durch die Punkte (a,j(a» und (b,j(b» geht. Satz 3 (l'Hospitalsche Regel). lund g seien in [a, b] stetig und in (a, b) stet7'g dillerenzierbar. Ferner sei l(a)=g(a)=O, g(x)=l=O lur xE(a, b) und g'(x)=l=O lur xE(a, b). . l'1m -,--, f'(x) so eX7st~ert . qa g(x) lim I(x) = lim I: (x) . x/ag(x) x/ag(x) 1 Bemerkung 4. 1st j(x) --+= und g(x) --+= fUr Xt a, so kann man den Satz auf g(x) (=j(X») anwenden.

2. 35 Bemerkungo. In Zukunft schreiben wir xdxo statt xr+xo mit xi">xo bzw. xitxo statt xr"xo mit xf

Bemerkung 2. Satz 2 besagt zweierlei, namlich 1. f(x) ist beschrankt und 2. 1/1 existieren) werden angenommen. Satz 3 (Satz vom Zwischenwert). 1st IX eine reelle Zahl mit f sei stetig (De/. 1/3(b») und D(j) sei ein 1ntervall. inf/(x)

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