Download Aufbaukurs Funktionalanalysis und Operatortheorie: by Winfried Kaballo PDF

By Winfried Kaballo

In diesem Buch finden Sie eine Einführung in die Funktionalanalysis und Operatortheorie auf dem Niveau eines Master-Studiengangs.

Ausgehend von Fragen zu partiellen Differenzialgleichungen und Integralgleichungen untersuchen Sie lineare Gleichungen im Hinblick auf Existenz und Struktur von Lösungen sowie deren Abhängigkeit von Parametern. Dazu lernen Sie verschiedene Konzepte und Methoden kennen: Distributionen, Fourier-Transformation, Sobolev-Räume, Dualitätstheorie im Rahmen lokalkonvexer Räume, topologische Tensorprodukte, exakte Sequenzen, Banachalgebren, Fredholmoperatoren, Funktionalkalküle sowie selbstadjungierte Operatoren und ihre Rolle in der Quantenmechanik.

Das Buch ist ausführlich und leicht verständlich geschrieben, die Konzepte und Resultate werden durch Abbildungen und viele Beispiele illustriert. Anhand zahlreicher Übungsaufgaben (mit Lösungen auf der web site zum Buch) können Sie Ihr Verständnis des Stoffes testen, anhand anderer diesen selbstständig weiterentwickeln.

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Gilt Ω f (y) ϕ(y) dy = 0 (12) f¨ ur alle Testfunktionen ϕ ∈ D (Ω) , so ist f (x) = 0 fast u ¨berall. Beweis. Es sei K ⊆ Ω kompakt und 3d := d(K, Ωc ) . 6 gibt es η ∈ D (Ω) mit 0 ≤ η ≤ 1 , η(x) = 1 f¨ ur x ∈ K und supp η ⊆ Kd . 4 gilt dann f η − ρε ∗ (f η) L1 → 0 f¨ ur ε → 0 . F¨ ur 0 < ε < d und x ∈ Rn liegt die Funktion y → η(y) ρε (x − y) in D (Ω) , und aus (12) folgt ρε ∗ (f η)(x) = Ω f (y) η(y) ρε (x − y) dy = 0 . Somit ist f (x)η(x) = 0 f¨ ur fast alle x ∈ Rn und daher f = 0 fast u ¨berall auf K .

Dann ist T stetig. 4 Prinzipien der Funktionalanalysis 23 Beweis. Durch j : x → (x, T x) wird eine lineare Bijektion von E auf den Graphen Γ(T ) definiert. Offenbar ist j −1 stetig. 17 auch j stetig, und dies gilt dann auch f¨ ur T . 16 in zwei Schritten, die wir als Lemmata formulieren. Die Topologien von E und F seien durch die (F ) -Normen φ und ψ definiert; zur Abk¨ urzung schreiben wir Uε := Uφ,ε und Vε := Uψ,ε f¨ ur die entsprechenden ε ” Kugeln“. 19 Es seien E, F (F ) -normierte R¨ aume und T : E → F ein linearer Operator, so dass das Bild R(T ) von T von zweiter Kategorie in F ist.

A. nicht differenzierbar, sollten aber auch als L¨ osungen von (16) betrachtet werden. 36 2 Distributionen Schwache L¨ osungen. L. Sobolev (1938) zur¨ uckgeht. 8 ¨ aquivalent zu der Aussage ∀ ϕ ∈ D (R2 ) : R2 (∂t2 − c2 ∂x2 )u · ϕ d(x, t) = 0 , und mittels partieller Integration ist diese wiederum ¨ aquivalent zu ∀ ϕ ∈ D (R2 ) : R2 u · (∂t2 − c2 ∂x2 )ϕ d(x, t) = 0 . (18) Aussage (18) ist auch sinnvoll f¨ ur nur stetige oder nur lokal integrierbare Funktionen; diese heißen dann schwache L¨ osungen der Wellengleichung (16).

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